נקודות קיצון מבגרות 482 – f(x) = 2 − cos²xחקירת פונקציות טריגונומטריות 571 · שיעור 18
בגרות 482 · קיץ 2019 מועד ב׳ · שאלה 3 · סעיף א
שיעור 18 – נקודות קיצון מבגרות 482 – f(x) = 2 − cos²x
פרק 2 – גזירה ומציאת נקודות קיצון
1נוסח השאלה
2סעיף א – שלב 1: הנגזרת
3סעיף א – שלב 2: משווים את הנגזרת ל־0
4סעיף א – שלב 3: סוג הנקודות ושיעורי y
5לבדיקה – הגרף
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = 2 − cos2x , בתחום −2π3 ≤ x ≤ 2π3 .
א. מצא את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) בתחום הנתון, וקבע את סוגן.
סעיף א – שלב 1: הנגזרת
המספר 2 נגזר ל־0. את cos2x כותבים כחזקה (cos x)2 וגוזרים לפי נגזרת של חזקה של פונקציה – u = cos x :
[(cos x)2]′ = 2cos x · (cos x)′
📐 נגזרת של חזקה (פונקציה מורכבת)
[(cos x)2]′ = 2cos x · (−sin x)
📐 נגזרת של קוסינוס
[(cos x)2]′ = −2sin x · cos x
לפני cos2x יש מינוס, ולכן הסימן מתהפך:
f′(x) = 0 − (−2sin x · cos x)
📐 נגזרת של חזקה (פונקציה מורכבת)
[un]′ = n · un−1 · u′
📐 נגזרת של קוסינוס
(cos x)′ = −sin x
סעיף א – שלב 1: הנגזרת · המשך
f′(x) = 0 − (−2sin x · cos x)
f′(x) = 2sin x · cos x
✅ פתרון סופי: f′(x) = 2sin x · cos x
סעיף א – שלב 2: משווים את הנגזרת ל־0
בנקודת קיצון הנגזרת מתאפסת:
2sin x · cos x = 0
📐 נקודת קיצון
מכפלה – לכן sin x = 0 או cos x = 0
📐 מכפלה שווה 0
אפשרות 1: sin x = 0 . הזווית שהסינוס שלה 0 היא 0:
x = 0 + 2πk = 2πk
📐 פתרון המשוואה sin x = sin a
x = π − 0 + 2πk = π + 2πk
📐 נקודת קיצון
בנקודת קיצון פנימית f′(x) = 0
📐 מכפלה שווה 0
מכפלה שווה 0 כאשר אחד הגורמים שווה 0
📐 פתרון המשוואה sin x = sin a
x = a + 2πk
x = π − a + 2πk
x = π − a + 2πk
סעיף א – שלב 2: משווים את הנגזרת ל־0 · המשך
x = π − 0 + 2πk = π + 2πk
בתחום הנתון מתקבל רק x = 0 . הפתרון π גדול מ־2π3 , והפתרון −π (עבור k = −1 ) קטן מ־−2π3 .
אפשרות 2: cos x = 0 . הזווית שהקוסינוס שלה 0 היא π2 :
x = π2 + 2πk
📐 פתרון המשוואה cos x = cos a
x = −π2 + 2πk
נציב k = 0 – שני הפתרונות בתחום. ערכי k אחרים יוצאים מהתחום.
📐 פתרון המשוואה cos x = cos a
x = a + 2πk
x = −a + 2πk
x = −a + 2πk
סעיף א – שלב 2: משווים את הנגזרת ל־0 · המשך
נציב k = 0 – שני הפתרונות בתחום. ערכי k אחרים יוצאים מהתחום.
x = −π2 , x = π2
יש שלוש נקודות חשודות בתוך התחום:
x = −π2 , x = 0 , x = π2
✅ פתרון סופי: x = −π2 , x = 0 , x = π2
סעיף א – שלב 3: סוג הנקודות ושיעורי y
קביעת סוג הנקודות – נסמן על ציר את שלוש הנקודות ואת קצות התחום, ונציב בנגזרת מספר מכל תחום:
בין −2π3 ל־−π2 ניקח x = −7π12 . זו זווית ברביע השלישי, ושם גם sin x וגם cos x שליליים:
f′(−7π12) = 2 · (−) · (−) > 0
f′(−π4) = 2 · (−√22) · √22 = −1 < 0
f′(π4) = 2 · √22 · √22 = 1 > 0
סעיף א – שלב 3: סוג הנקודות ושיעורי y · המשך
f′(π4) = 2 · √22 · √22 = 1 > 0
בין π2 ל־2π3 ניקח x = 7π12 . זו זווית ברביע השני: sin x חיובי ו־cos x שלילי:
f′(7π12) = 2 · (+) · (−) < 0
עלייה ואחריה ירידה – מקסימום; ירידה ואחריה עלייה – מינימום.
📐 עלייה וירידה
שיעור ה־y של כל נקודה – מציבים בפונקציה עצמה. נכתוב את הפונקציה:
📐 עלייה וירידה
f′(x) > 0 – הפונקציה עולה ↗
f′(x) < 0 – הפונקציה יורדת ↘
f′(x) < 0 – הפונקציה יורדת ↘
סעיף א – שלב 3: סוג הנקודות ושיעורי y · המשך
שיעור ה־y של כל נקודה – מציבים בפונקציה עצמה. נכתוב את הפונקציה:
f(x) = 2 − cos2x
נציב x = π2 :
f(π2) = 2 − cos2π2 = 2 − 02 = 2
נציב x = −π2 :
cos(−π2) = cos π2 = 0
📐 זווית נגדית
📐 זווית נגדית
cos(−x) = cos x
סעיף א – שלב 3: סוג הנקודות ושיעורי y · המשך
cos(−π2) = cos π2 = 0
📐 זווית נגדית
f(−π2) = 2 − cos2(−π2) = 2 − 0 = 2
נציב x = 0 :
f(0) = 2 − cos20 = 2 − 12 = 1
נציב את קצה התחום x = 2π3 :
cos 2π3 = −12
📐 ערך מיוחד
📐 זווית נגדית
cos(−x) = cos x
📐 ערך מיוחד
cos 2π3 = −12
סעיף א – שלב 3: סוג הנקודות ושיעורי y · המשך
cos 2π3 = −12
📐 ערך מיוחד
f(2π3) = 2 − cos22π3
f(2π3) = 2 − (−12)2 = 2 − 14 = 74
ובקצה השני x = −2π3 – לפי הזהות של זווית נגדית cos(−2π3) = cos 2π3 , ולכן מקבלים אותו ערך:
f(−2π3) = 74 = 1.75
✅ פתרון סופי: מקסימום (−π2 , 2) , (π2 , 2) ; מינימום (0 , 1) ; מינימום קצה (−2π3 , 74) , (2π3 , 74)
📐 ערך מיוחד
cos 2π3 = −12
לבדיקה – הגרף
כך נראה הגרף בתחום:
✅ פתרון סופי: הנקודות על הגרף מתאימות לתשובה
📌 סיכום התשובות
סעיף א
מקס. (±π2 , 2) , מינ. (0 , 1) , מינ. קצה (±2π3 , 74)
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא